Module et argument (1) - Corrigé

Énoncé

Déterminer le module et un argument de \(z=r \left( \cos(x)-i\sin(x) \right)\) avec \(x \in \mathbb{R}\) et \(r<0\) .

Solution

Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(r<0\) . On a :
\(\begin{align*}\left\vert z \right\vert& = \left\vert r \right\vert \sqrt{(\cos(x))^2+(-\sin(x))^2}= -r \times \sqrt{1}= -r\end{align*}\)

Soit \(\theta\) un argument de \(z\) . On a alors :
\(\left\lbrace \begin{array}{l}\cos\theta=\dfrac{r\cos(x)}{-r}=-\cos(x)=\cos(\pi-x)\\\sin\theta=\dfrac{-r\sin(x)}{-r}=\sin(x)=\sin(\pi-x)\end{array} \right.\)
donc \(\theta \equiv \pi-x \ [2\pi]\) .